Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），設(shè)h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的圖象上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
h′（x）=-=，令h′（x）==0，則x=a
于是，當(dāng)x＞a時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜a時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
∴h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），h（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a）．
（2）∵h(yuǎn)′（x₀）==k，
∴在區(qū)間（0，3]上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率h′（x₀）=k=≥成立，
即a≤-+x₀，等價(jià)于a≤（x∈（0，3]）．
∵-+x₀=-+，
∴=．
于是a≤，即a的最大值為．
分析：（1）由于h′（x）=，由h′（x）＞0，可求其單調(diào)增區(qū)間，h′（x）＜0可求其單調(diào)減區(qū)間；
（2）依題意，以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率h′（x₀）=k=≥成立?a≤（x∈（0，3]），求得即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查分析問(wèn)題與等價(jià)轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．