Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=x²-bx-2．
（Ⅰ）當(dāng)b=1，寫出函數(shù)y=|f（x）|單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）定義g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)b=1，寫出函數(shù)的對(duì)稱軸，畫出函數(shù)的圖象，從而求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，先討論g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-bx-2|，x≥0}\\{{x}^{2}-bx-2，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$b，再結(jié)合函數(shù)y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）b=1時(shí)：f（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
畫出函數(shù)|f（x）|的圖象，如圖示：

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，$\frac{1}{2}$），（2，+∞）；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，
先討論g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-bx-2|，x≥0}\\{{x}^{2}-bx-2，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$b．
①$\frac{1}{2}$b≤0，即b≤0時(shí)，此時(shí)，x≥0，f（x）≥0，函數(shù)y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去；
②0＜$\frac{1}{2}$b＜2，且f（2）=2-2b＞0，即0＜b＜1時(shí)，設(shè)y=g（x）的圖象與x軸的正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，0），而此時(shí)函數(shù)y=g（x）的圖象在[-2.0]上單調(diào)遞減，在[0，$\frac{1}{2}$b]上單調(diào)遞增，[$\frac{1}{2}$b，x₀]上單調(diào)遞減，[x₀，2]上單調(diào)遞增，
此時(shí)f（-2）＞|f（$\frac{1}{2}$b）|＞f（0）＞f（2），f（x₀）=0，$\frac{1}{2}$b＜$\frac{1}{2}$，
∴要使y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，則滿足：0＜$\frac{1}{2}$b≤2-2b，∴0＜b≤$\frac{4}{5}$；
③0＜$\frac{1}{2}$b＜2，且f（2）=2-2b≤0，即1≤b＜4時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象在[-2.0]上單調(diào)遞減，在[0，$\frac{1}{2}$b]上單調(diào)遞增，[$\frac{1}{2}$b，2]上單調(diào)遞減，
此時(shí)$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$b＜2，∴y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上不可能有三個(gè)交點(diǎn)；
④$\frac{1}{2}$b≥2，即b≥4時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象在[-2.0]上單調(diào)遞減，在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴y=g（x）與y=$\frac{1}{2}$b在[-2，2]上最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，0＜b≤$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，正確分類討論是關(guān)鍵．