Question

圖中的三角形稱為謝賓斯基（Sierpinski）三角形．在下圖中，將第1個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形著色，將第k（k∈N^*）個(gè)圖形中的每個(gè)未著色三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形著色，得到第k+1個(gè)圖形，這樣這些圖形中著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)圖形求出前后兩圖的遞推關(guān)系，然后利用疊加法進(jìn)行求解，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：根據(jù)圖形可知a₁=1，a_n+1-a_n=3ⁿ
當(dāng)n≥2時(shí)
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…3^n-1
=

3n-1

2

故答案為：an=

3n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，以及識(shí)圖能力和運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．