Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先利用拋物線的方程求得準(zhǔn)線方程，根據(jù)橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2，利用拋物線的定義推斷出點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也為2，從而求得p，即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，根據(jù)直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），求出斜率，即可試求直線l的方程．

解答： 解：（1）因?yàn)閽佄锞�C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2，
所以|MF|=xM+

p

2

=1+

p

2

=2，所以p=2，
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）設(shè)直線l與拋物線C相交所得的弦為AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

兩式相減并整理得：

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，
所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2
由直線的點(diǎn)斜式得：y-1=2（x-2）
所以直線l的方程為：2x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查弦中點(diǎn)問題．涉及拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，常用拋物線的定義來解決．