Question

已知平面向量=（，-1），=（，）．
（1）證明：⊥；
（2）若存在實數(shù)k和t，使得x=+（t²-3），y=-k+t，且x⊥y，試求函數(shù)關系式k=f（t）；
（3）根據(jù)（2）的結論，確定k=f（t）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要證明=0，即可證明a⊥b
（2）根據(jù)⊥可得，=0，再化簡，即可得到含t和k的式子，用t表示k，可得函數(shù)關系式k=f（t）．
（3）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，先求導，k′＜0得到，函數(shù)的減區(qū)間，令k′＞0得到函數(shù)的增區(qū)間．
解答：解：（1）證明：∵=（，-1），=（，）
∴×+（-1）×=0，∴⊥  …（4分）
（2）由題意知
=（，），
=（t-k，t+k）
又⊥故•=×（t-k）+×（t+k）=0
整理得：t²-3t-4k=0即k=t³-t  …（4分）
（3）由（2）知：k=f（t）=t³-t
∴k′=f′（t）=t²-
令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1
故k=f（t）單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）
點評：本題考查了向量垂直充要條件的應用，以及導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎題，應該掌握．