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(本小題滿分13分)

已知常數a為正實數,曲線Cny=在其上一點Pn(xn,yn)的切線ln總經過定點(-a,0)(nN*).

(1)求證:點列:P1,P2,…,Pn在同一直線上;

(2)求證: (nN*).

 

【答案】

證法一:(1)∵f(x)=,

f′(x)=·(nx)′=·.(1分)

Cny=在點Pn(xn,yn)處的切線ln的斜率knf′(xn)=·,

ln的方程為yyn=·(xxn).(2分)

ln經過點(-a,0),

yn=-·(-axn)=·(axn).

又∵Pn在曲線Cn上,∴yn==·(axn),

xna,∴yn=,∴Pn(a,)總在直線xa上,

P1,P2,…,Pn在同一直線xa上.(4分)

(2)由(1)可知yn=,∴f(i)===.(5分)

=<=2(-)(i=1,2,…,n),

.(9分)

設函數F(x)=-ln(x+1),x∈[0,1],有F(0)=0,

F′(x)=-==>0(x∈(0,1)),

F(x)在[0,1]上為增函數,

即當0<x<1時F(x)>F(0)=0,故當0<x<1時>ln(x+1)恒成立.(11分)

x=(i=1,2,3,…,n),f(i)=>ln(1+)=ln(i+1)-lni,

f(1)=>ln2,f(2)=>ln(1+)=ln3-ln2,…,f(n)=>ln(n+1)-lnn

    綜上所述有 (nN*).(13分)

證法二:(1)設切線ln的斜率為kn,由切線過點(-a,0)得切線方程為ykn(xa),

則方程組的解為.(1分)

由方程組用代入法消去y化簡得kx2+(2akn)xka2=0,(*)

Δ=(2akn)2-4k·ka2=-4ankn2=0,

k=.(2分)

代入方程(*),得x2+(2a·-n)x+·a2=0,即x2-2a·xa2=0,

xa,即有xnayn==,

P1,P2,…,Pn在同一直線xa上.(4分)

(2)先證:0<x<1時>x>ln(x+1),以下類似給分

 

【解析】略

 

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