Question

已知函數
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求證：函數f（x）在（0，1）上是單調減函數，在[1，+∞）上是單調增函數；
（3）用描點法畫出函數f（x）的圖象；根據圖象寫出函數f（x）的單調區(qū)間及值域．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱；（2分）
又∵，∴f（x）是偶函數．（4分）
（2）證明：當x∈（0，+∞）時，，
則
易得當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故函數f（x）在（0，1）上是單調減函數，在[1，+∞）上是單調增函數；
（3）函數f（x）圖象如圖所示（14分）

函數f（x）的單調增區(qū)間是[-1，0），[1，+∞），
單調減區(qū)間是（-∞，-1]，（0，1]，值域是[2，+∞）（16分）
分析：（1）分析函數的定義域是否關于原點對稱，及f（-x）與f（x）的關系，然后根據函數奇偶性的定義即可得到答案．
（2）根據已知中函數的解析式，我們可以求出x∈（0，+∞）時，函數的解析式及導函數的解析式，然后根據x∈（0，1）時與x∈（1，+∞）時，f′（x）的符號，即可得到結論；
（3）由（1）（2）的結論，結合描點法，我們易得到函數的圖象，根據圖象易求出函數f（x）的單調區(qū)間及值域．
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷及函數單調性的判斷與證明，函數圖象的畫法及應用，屬于函數的綜合性應用問題，考查了函數除了周期性以外的所有重要知識點，是一道不可多得的好題．