已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求證:函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)減函數(shù),在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
(3)用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象;根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及值域.

解:(1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2分)
又∵,∴f(x)是偶函數(shù).(4分)
(2)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),,

易得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0
故函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調(diào)減函數(shù),在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
(3)函數(shù)f(x)圖象如圖所示(14分)

函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[-1,0),[1,+∞),
單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-1],(0,1],值域是[2,+∞)(16分)
分析:(1)分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),及f(-x)與f(x)的關(guān)系,然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到答案.
(2)根據(jù)已知中函數(shù)的解析式,我們可以求出x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)的解析式及導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后根據(jù)x∈(0,1)時(shí)與x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)的符號(hào),即可得到結(jié)論;
(3)由(1)(2)的結(jié)論,結(jié)合描點(diǎn)法,我們易得到函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象易求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及值域.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)圖象的畫(huà)法及應(yīng)用,屬于函數(shù)的綜合性應(yīng)用問(wèn)題,考查了函數(shù)除了周期性以外的所有重要知識(shí)點(diǎn),是一道不可多得的好題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=loga
2m-1-mxx+1
(a>0,a≠1)
是奇函數(shù),定義域?yàn)閰^(qū)間D(使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合).
(1)求實(shí)數(shù)m的值,并寫(xiě)出區(qū)間D;
(2)若底數(shù)a>1,試判斷函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底數(shù))時(shí),函數(shù)值組成的集合為[1,+∞),求實(shí)數(shù)a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)函f(x)=x|x|-2x  (x∈R)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并用定義證明;
(2)作出函數(shù)f(x)=x|x|-2x的圖象;
(3)討論方程x|x|-2x=a根的情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

(1)由f(2)=
4
5
,f(
1
2
)=
1
5
,f(3)=
9
10
,f(
1
3
)=
1
10
這幾個(gè)函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(
1
x
)
有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)
的值;
(3)判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e|lnx|+a|x-1|(a為實(shí)數(shù))
(I)若a=1,判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(II)若對(duì)于任意的x∈(0,1),總有f(x)的函數(shù)值不小于1成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年廣東省江門(mén)市開(kāi)平市高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)由,,,這幾個(gè)函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)求的值;
(3)判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

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