Question

7．已知動點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M，N是直線l₁上兩個不同的點(diǎn)，且△PMN的內(nèi)切圓方程為x²+y²=1，直線PF的斜率為k，求$\frac{|k|}{|MN|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），點(diǎn)M（-1，m），點(diǎn)N（-1，n），寫出直線PM方程，化簡得，（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0．利用△PMN的內(nèi)切圓方程為x²+y²=1，得到圓心（0，0）到直線PM的距離為1，求出$m+n=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-1}}$，$mn=\frac{{-（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}$，求出|MN|．化簡$\frac{|k|}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{x_0}{{x_0^2+4{x_0}-1}}}=\sqrt{\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}}$利用函數(shù)的單調(diào)性求解范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線l₁的距離，…（1分）
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l₁：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線．…（2分）
∴曲線C的方程為y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），點(diǎn)M（-1，m），點(diǎn)N（-1，n），
直線PM方程為：$y-m=\frac{{{y_0}-m}}{{{x_0}+1}}（{x+1}）$，…（4分）
化簡得，（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0．
∵△PMN的內(nèi)切圓方程為x²+y²=1，
∴圓心（0，0）到直線PM的距離為1，即$\frac{{|{{y_0}-m+m（{{x_0}+1}）}|}}{{\sqrt{{{（{{y_0}-m}）}^2}+{{（{{x_0}+1}）}^2}}}}=1$．…（5分）
故${（{{y_0}-m}）^2}+{（{{x_0}+1}）^2}={（{{y_0}-m}）^2}+2m（{{y_0}-m}）（{{x_0}+1}）+{m^2}{（{{x_0}+1}）^2}$．
易知x₀＞1，上式化簡得，$（{{x_0}-1}）{m^2}+2{y_0}m-（{{x_0}+1}）=0$．…（6分）
同理，有$（{{x_0}-1}）{n^2}+2{y_0}n-（{{x_0}+1}）=0$．…（7分）
∴m，n是關(guān)于t的方程$（{{x_0}-1}）{t^2}+2{y_0}t-（{{x_0}+1}）=0$的兩根．
∴$m+n=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-1}}$，$mn=\frac{{-（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}$．…（8分）
∴$|{MN}|=|{m-n}|=\sqrt{{{（{m+n}）}^2}-4mn}=\sqrt{\frac{4y_0^2}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}+\frac{{4（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}}$．…（9分）
∵$y_0^2=4{x_0}$，$|{y_0}|=2\sqrt{x_0}$，
∴$|{MN}|=\sqrt{\frac{{16{x_0}}}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}+\frac{{4（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}}$=$2\sqrt{\frac{{x_0^2+4{x_0}-1}}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}}$．
直線PF的斜率$k=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}$，則$|k|=|{\frac{y_0}{{{x_0}-1}}}|=\frac{{2\sqrt{x_0}}}{{|{{x_0}-1}|}}$．
∴$\frac{|k|}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{x_0}{{x_0^2+4{x_0}-1}}}=\sqrt{\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}}$．…（10分）
∵函數(shù)$y=x-\frac{1}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴${x_0}-\frac{1}{x_0}＞1-1=0$．
∴${x_0}-\frac{1}{x_0}+4＞4$．∴$0＜\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}＜\frac{1}{4}$．…（11分）
∴$0＜\frac{|k|}{{|{MN}|}}＜\frac{1}{2}$．∴$\frac{|k|}{{|{MN}|}}$的取值范圍為$（{0，\frac{1}{2}}）$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，拋物線的定義的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．