Question

19．某中學對男女學生是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查，調(diào)查者對學校高三年級隨機抽取了100名學生，調(diào)查結(jié)果如表：

	喜愛	不喜愛	總計
男學生	60		80
女學生
總計	70	30

（1）完成如表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）從以上被調(diào)查的學生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取5名學生去某古典音樂會的現(xiàn)場觀看演出，求正好有X個男生去觀看演出的分布列及期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）列出2×2列聯(lián)表，求出K²的值，判斷有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）先確定X的取值，分別求其概率，求出分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）2×2列聯(lián)表

	喜愛	不喜愛	總計
男學生	60	20	80
女學生	10	10	20
總計	70	30	100

∴K²=$\frac{100×（60×10-20×10）^{2}}{70×30×80×20}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握認為“男學生和女學生喜歡古典音樂的程度有差異”；
（2）由題意，10名學生中有8名男生和2名女生，故X的取值為3，4，5．
P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{9}$，P（X=5）=$\frac{{C}_{8}^{5}{C}_{2}^{0}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，
X的分布列

X	3	4	5
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

期望EX=3×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{5}{9}$+5×$\frac{2}{9}$=4．

點評 本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識，求X的分布列及數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．