在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，有如下方法：
先改寫第k項：k（k+1）=數(shù)學公式[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=數(shù)學公式（1×2×3-0×1×2），
2×3=數(shù)學公式（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=數(shù)學公式[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=數(shù)學公式（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為：________．

n（n+1）（2n+7）
分析：類比，先改寫第k項k（k+2）=，再累加，即可求得結論．
解答：由題意，k（k+2）=
由此得：1×3=（1×2×9-0×1×7）），
2×3=（2×3×11-1×2×9），
…，
n（n+2）=
相加得：1×3+2×4+…+n（n+2）=n（n+1）（2n+7）
故答案為：n（n+1）（2n+7）
點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]由此得
1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），
2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3）
…
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
相加，得1×2×3+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
類比上述方法，請你計算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，

其結果為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，有如下方法：
先改寫第k項：k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），
2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為：
1
6
n（n+1）（2n+7）
1
6
n（n+1）（2n+7）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在計算“1×2+2×3+…n（n+1）”時，先改寫第k項：
k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請你計算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結果；
（2）試用數(shù)學歸納法證明你得到的等式．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省臨川二中、新余四中2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學文科試題 題型：022

在計算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：k(k＋1)＝[k(k＋1)(x＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得

1×2＝(1×2×3－0×1×2)

2×3＝(2×3×4－1×2×3)

…

n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]

相加，得

1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)

類比上述方法，請你計算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)”，其結果為________．

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