Question

已知點(diǎn)B是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，且頂點(diǎn)A、B、C按順時(shí)針方向排列．求點(diǎn)C的軌方程．

Answer 1

分析：由題意“已知點(diǎn)B是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，且頂點(diǎn)A、B、C按順時(shí)針方向排列．求點(diǎn)C的軌方程”，可設(shè)C（x，y），令B（x₀，y₀），由等腰直角三角形的特征，兩直角邊垂直且相等建立B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，用點(diǎn)C的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入x²+y²=1，整理即可得到點(diǎn)C的軌跡方程

解答：解：設(shè)C（x，y），令B（x₀，y₀），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
∴k_AB×k_AC=-1，且AB=AC
∴

y

x-2

×

y0

x0-2

=-1    ①；
（x-2）²+y²=（x₀-2）²+y₀²   ②
由①得x0-2=

yy0

x-2

代入②得（x-2）²+y²=(

yy0

x-2

)2+y0 2
整理得（x-2）²+y²=y0 2×(1+

y2

(x-2)2

)，即y0 2=

(x-2)2+y2

1+ y2 (x-2)2

=（x-2）²
又y₀＞0，x≥2
可得y₀=x-2代入①得

y

x0-2

=-1，解得x₀=2-y
又點(diǎn)B（x₀，y₀）是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
所以有（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）
故點(diǎn)C的軌跡方程是（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，建立起已知軌跡方程的曲線上的點(diǎn)B的坐標(biāo)與要求的軌跡方程的曲線上的點(diǎn)C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再代入已知的軌跡方程，整理得出要求的軌跡方程，此過程稱為代入法，其步驟為未知表示已知，再代入已知得出要求的軌跡方程，本題由垂直與線段相等兩個(gè)關(guān)系建立方程，由于都是符號(hào)運(yùn)算，運(yùn)算量較大，變形時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，不要因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致解題失敗，由解題過程可以看出，此類題求解規(guī)律固定，入手一般是從找等量關(guān)系開始，切記！