Question

16．已知拋物線C：y²=4x，焦點F，過點F任作直線l（不垂直于坐標軸）與曲線C交于A，B兩點，由A，B分別向（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$各引一條切線，切點分別為P，Q，記α=∠AFP，β=∠BFQ，則cosα+cosβ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F（1，0），設出直線l的方程，把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及拋物線的定義，以及三角函數(shù)的定義，即可得出結論．

解答 解：拋物線C：y²=4x，焦點F（1，0），
當l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程y²=4x得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k²+4，x₁x₂=1，
圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心為（1，0），半徑為$\frac{1}{2}$，
即有cosα+cosβ=$\frac{|FP|}{|AF|}$+$\frac{|FQ|}{|BF|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{\frac{1}{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$）=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，熟練掌握圓的標準方程及切線的性質、直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關系及拋物線的定義是解題的關鍵．