Question

（Ⅰ）設(shè)f（x）=

f(x+2)(x＜4) ( 1 2 )x(x≥4)

，求f（1+log₂3）的值；

（Ⅱ）已知g（x）=ln[（m²-1）x²-（1-m）x+1]的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由1+log₂3∈（2，3），故f（1+log₂3）=f（3+log₂3），進而根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，可得答案．
（II）若g（x）=ln[（m²-1）x²-（1-m）x+1]的定義域為R，則（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0（*）在x∈R時恒成立，分m²-1=0和m²-1≠0兩種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得滿足條件的實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵1+log₂3∈（2，3），
∴f(1+log23)=f(3+log23)=(

1

2

)3+log23=(

1

2

)3×(

1

2

)log23=

1

8

×2log2

1

3

=

1

8

×

1

3

=

1

24

；
（Ⅱ）由題設(shè)得：（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0（*）在x∈R時恒成立，
若m²-1=0⇒m=±1，
當(dāng)m=1時，（*）式可化為：1＞0恒成立，
當(dāng)m=-1時，（*）式可化為：-2x+1＞0不恒成立，
∴m=1；
若m²-1≠0，
則

m2-1＞0 △=(1-m)2-4(m2-1)＜0

⇒

m＜-1或m＞1 m＜- 5 3 或m＞1

⇒m＜-

5

3

或m＞1
綜上，實數(shù)m的取值范圍是m＜-

5

3

或m≥1．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想的引入是解答的關(guān)鍵．