Question

（2006•崇文區(qū)一模）為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題，我們可以分三步進行研究：
（I）首先選取如下函數(shù)：y=2x+1，y=

2x

x+1

，y=-

x+1

求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標：y=2x+1與其反函數(shù)y=

x-1

2

的交點坐標為（-1，-1）y=

2x

x+1

與其反函數(shù)y=

x

2-x

的交點坐標為（0，0），（1，1）y=-

x+1

與其反函數(shù)y=x²-1，（x≤0）的交點坐標為（

1- 5

2

，

1- 5

2

），（-1，0），（0，-1）
（II）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；
（III）對得到的結(jié)論進行證明．現(xiàn)在，請你完成（II）和（III）．

Answer 1

分析：（II）原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象的交點不一定在直線y=x上．
（III）設(shè)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象的任一點，由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則（b，a）也是f（x）的圖象與反函數(shù)的圖象的交點，且b=f（a），a=f（a），若a＞b時，交點顯然在y=x上．由此進行分類討論知：f（x）單調(diào)遞增，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點時，交點在y=x上；f（x）單調(diào)遞減，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點時，交點不在y=x上．

解答：（II）解：原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象的交點不一定在直線y=x上．
（III）證明：設(shè)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象的任一點，
由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
則（b，a）也是f（x）的圖象與反函數(shù)的圖象的交點，
且b=f（a），a=f（a），
若a＞b時，交點顯然在y=x上．
若a＜b，且f（x）是增函數(shù)時，有f（b）＜f（a），從而b＜a．矛盾；
若b＜a，且f（x）是增函數(shù)時，有f（a）＜f（b），從而a＜b．矛盾；
若a＜b，且f（x）是減函數(shù)時，有f（b）＜f（a），從而a＜b．此時交點不在y=x上；
若b＜a，且f（x）是減函數(shù)時，有f（a）＜f（b），從而b＜a．此時交點不在y=x上．
綜上所述，f（x）單調(diào)遞增，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點時，交點在y=x上；f（x）單調(diào)遞減，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點時，交點不在y=x上．

點評：本題考查原函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的交點的位置關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固