已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意正整數(shù)n,都有an是n與Sn的等差中項.
(1)求證:an=2an-1+1(n≥2);
(2)求證:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
(1)證明:∵a
n是n與S
n的等差中項,
∴2a
n=n+S
n①
于是2a
n-1=n-1+S
n-1(n≥2)②
①-②得2a
n-2a
n-1=1+a
n∴a
n=2a
n-1+1(n≥2)
(2)證明:當n≥2時,由a
n=2a
n-1+1得 a
n+1=2(a
n-1+1)
∴
當n=1時,2a
1=1+S
1即 2a
1=1+a
1
∴a
1=1,a
1+1=2
所以{a
n+1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列
(3)解:∵a
n+1=2•2
n-1=2
n
∴a
n=2
n-1
∴
分析:(1)利用a
n是n與S
n的等差中項,以及a
n=s
n-s
n-1,推出a
n=2a
n-1+1(n≥2)即可;
(2)利用(1)直接推出數(shù)列{a
n+1}為等比數(shù)列;
(3)利用(2)求出通項公式,然后通過拆項法求數(shù)列{a
n}的前n項和S
n.
點評:本題考查數(shù)列的判斷,通項公式的求法,前n項和的求法,考查計算能力.