我們將點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過矩陣
ab
cd
的變換得到新的點(diǎn)P'(x',y')稱作一次運(yùn)動(dòng),即:
x′
y′
=
ab
cd
x
y

(1)若點(diǎn)P(3,4)經(jīng)過矩陣A=
01
10
變換后得到新的點(diǎn)P',求出點(diǎn)P'的坐標(biāo),并指出點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系;
(2)若函數(shù)f(x)=
1
a
x2+
5
a
(x≥0)的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(1)中的矩陣A變換后,所得到圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=g(x),試研究在y=g(x)上是否存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用矩陣與平面列向量的乘法公式,可求點(diǎn)P'的坐標(biāo),進(jìn)而可判斷點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系;
(2)要使函數(shù)y=g(x)存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],只需方程
ax-5
=x
當(dāng)x≥0時(shí)有兩個(gè)相異實(shí)根,即方程ax-5=x2有兩個(gè)相異正根(x=0顯然不是方程的根),從而轉(zhuǎn)化函數(shù)y=a與函數(shù)y=x+
5
x
(x>0)有兩個(gè)交點(diǎn),故可解.
解答:解:(1)∵
01
10
3
4
=
4
3
,∴P'的坐標(biāo)為(4,3)(2分)
顯然點(diǎn)P'與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱;(4分)
(2)由(1)知y=g(x)為y=f(x)的反函數(shù),(5分)
∴x2=ay-5,∴x=
ay-5
∴當(dāng)a>0時(shí),g(x)=
ax-5
x≥
5
a
)(7分)
當(dāng)a<0時(shí),g(x)=
ax-5
x≤
5
a
)(8分)
當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
要使函數(shù)y=g(x)存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],
只需方程
ax-5
=x
當(dāng)x≥0時(shí)有兩個(gè)相異實(shí)根,(10分)
即方程ax-5=x2有兩個(gè)相異正根(x=0顯然不是方程的根),∴a=x+
5
x
(x>0)即函數(shù)y=a與函數(shù)y=x+
5
x
(x>0)有兩個(gè)交點(diǎn),
由基本不等式可知:a>2
5
x+
5
x
≥2
5
當(dāng)且僅當(dāng)x=
5
時(shí)有最小值)(12分)
當(dāng)a<0時(shí),∵函數(shù)y=g(x)的值域?yàn)閇0,+∞),而x≤
5
a
<0
,∴當(dāng)a<0時(shí),不存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],∴a的取值范圍為(2
5
,+∞)
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以矩陣為載體,考查矩陣變換,考查存在性問題的探求,關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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我們將點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過矩陣
ab
cd
的變換得到新的點(diǎn)P'(x',y')稱作一次運(yùn)動(dòng),即:
x′
y′
=
ab
cd
x
y

(1)若點(diǎn)P(3,4)經(jīng)過矩陣A=
01
10
變換后得到新的點(diǎn)P',求出點(diǎn)P'的坐標(biāo),并指出點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系;
(2)若函數(shù)f(x)=
1
a
x2+
5
a
(x≥0)的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(1)中的矩陣A變換后,所得到圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=g(x),試研究在y=g(x)上是否存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.

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圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點(diǎn)P(x,y)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn),MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0).
(1)試用x,y,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為(如圖),求證:xE•xF是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值;
(3)請(qǐng)選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運(yùn)算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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我們將點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過矩陣的變換得到新的點(diǎn)P'(x',y')稱作一次運(yùn)動(dòng),即:
(1)若點(diǎn)P(3,4)經(jīng)過矩陣變換后得到新的點(diǎn)P',求出點(diǎn)P'的坐標(biāo),并指出點(diǎn)P'與點(diǎn)P的位置關(guān)系;
(2)若函數(shù)(x≥0)的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(1)中的矩陣A變換后,所得到圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=g(x),試研究在y=g(x)上是否存在定義域與值域相同的區(qū)間[m,n],若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.

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圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點(diǎn)P(x,y)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn),MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0).
(1)試用x,y,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為(如圖),求證:xE•xF是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值;
(3)請(qǐng)選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運(yùn)算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點(diǎn)P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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