Question

2．已知函數(shù)f（x）=（x²-x-5）e^x，g（x）=tx²+ex-4e²（t∈R）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）是否存在t＜0，對任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）？若存在，求出t的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=（x²+x-6）e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）對任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），等價于f（x₁）_min＞g（x₂）_max，由此能求出存在t＜-$\frac{1}{4}$，對任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-x-5）e^x，
∴f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x-5）e^x=（x²+x-6）e^x，
當(dāng)f′（x）＞0時，x＞2或x＜-3，
當(dāng)f′（x）＜0時，-3＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-3，2），
∴f（x）的極大值為f（-3）=（9+3-5）e^-3=7e^-3，極小值為f（2）=（4-2-5）e²=-3e²．
（2）∵對任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
∵g（x）=tx²+ex-4e²（t＜0）對稱軸x=-$\frac{e}{2t}$＞0，
△=e²+16te²，g（x₂）_max=g（-$\frac{e}{2t}$）=$\frac{-16t{e}^{2}-{e}^{2}}{4t}$=$\frac{-{e}^{2}（16t+1）}{4t}$，
由（1）知$f（{x}_{1}）_{min}=f（2）=-3{e}^{2}$，
∴-3e²＞$\frac{-{e}^{2}（16t+1）}{4t}$，
解得t＜-$\frac{1}{4}$，
∴存在t＜-$\frac{1}{4}$，對任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．