設x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C上兩點AB，滿足（1）直線AB過點（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．
分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F(xiàn)1（0，-2），F(xiàn)2（0，2），把|
a
|+|
b
|轉(zhuǎn)化為|
F1M
|+|
F2M
|，再利用|
a
|+|
b
|=8即可知道動點M（x，y）的滿足橢圓定義，進而求出軌跡C的方程；
（Ⅱ）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出關(guān)于點A和點B的坐標的方程①，在利用OAPB為矩形轉(zhuǎn)化為OA⊥OB既為
OA
•
OB
=0．把①式代入就可求直線AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）令M（x，y），F(xiàn)1（0，-2），F(xiàn)2（0，2）
則
a
=
F1M
，
b
=
F2M

即|
a
|+|
b
|=|
F1M
|+|
F2M
|
即|
F1M
|+|
F2M
|=8
又∵|
F1F2
|=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求軌跡方程為
y2
16
+
x2
12
=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設AB方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
則
y=kx+3
y2
16
+
x2
9
=1
?（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）
x1+x2=-
18k
3k2+4
，x1•x2=-
-21
3k2+4

y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
36-48k2
3k2+4

∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB?
OA
•
OB
=0（10分）
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
5
4

所求直線方程為y=±
5
4
x+3（12分）
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量垂直問題．在研究直線和圓錐曲線問題時，通常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，找到關(guān)于二者交點坐標的方程，再代入已知條件解題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，i，j為直角坐標平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（II）過點（0，m）作直線l與曲線C交于A，B兩點，若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，
i
，
j
是直角坐標平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+(y+3)
j
，
b
=x
i
+(y-3)
j
且|
a
|+|
b
|=6，則點M（x，y）的軌跡是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，
i
、
j
，為直角坐標平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若向量
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點．設
OP
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為菱形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•西山區(qū)模擬）設x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標平面內(nèi)x，y軸正方向上單位向量，若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
，
b
=(x-
3
)
i
+y
j
，且|
a
|+|
b
|=2
6
．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線L與曲線C交于A、B兩點，若
OA
•
OB
=0，求證直線L與某個定圓E相切，并求出定圓E的方程．

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