Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示
（1）求證：PA⊥BD；
（2）是否在線段PD上存在一Q點，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，設(shè)λ=

DQ

DP

，若存在，求λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖可知P-ABCD為一個底面棱長為2，側(cè)高為

7

的正四棱錐，連接連接AC，BD交于點O，連接PO，由正方形的性質(zhì)及O為頂點在底面上的射影，易結(jié)合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)，得到BD⊥PA；
（2）由AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，再根據(jù)二面角Q-AC-D的平面角為30°，我們易求出滿足條件 的DQ的長，進(jìn)而求出λ的值．

解答：證明：（1）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD
連接AC，BD交于點O，連接PO，
因為BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA；（6分）
解：（2）由三視圖可知，BC=2，PA=2

2

，假設(shè)存在這樣的D點
因為AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，（8分）
△PDO中，PD=2

2

，OD=

2

，則∠PDO=60°，△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，所以O(shè)D=

2

，QD=

2

2

（11分）
λ=

DQ

DP

=

1

4

（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，由三視圖還原實物圖，其中（1）的關(guān)鍵是從已知的三視圖中分析出棱錐的形狀，（2）的關(guān)鍵是找出二面角Q-AC-D的平面角，再根據(jù)已知求出滿足條件的DQ的長．