【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值.
(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)由異面直線所成角的概念即可判斷就是它們的一個夾角,求
的余弦值即可.
(2)過點D作AB的平行線交BC于點F,證明PD⊥平面PBC,從而可得∠DFP為直線DF和平面PBC所成角的一個平面角,解三角形PDF即可解決問題。
(1)因為AD∥BC,所以∠DAP或其補角就是異面直線AP與BC所成的角,
因為AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,
在Rt△PDA中,,
所以,cos∠DAP,
所以,異面直線AP與BC所成角的余弦值為 .
(2)過點D作AB的平行線交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.
因為AD⊥平面PDC,AD∥BC,所以BC⊥平面PDC,
所以BC⊥PD,又PD⊥PB
所以PD⊥平面PBC,
故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知得:CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,
在Rt△DCF中,可得.
在Rt△DPF中,sin∠DFP=.
所以,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解高一實驗班的數(shù)學(xué)成績,采用抽樣調(diào)查的方式,獲取了位學(xué)生在第一學(xué)期末的數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù),樣本統(tǒng)計結(jié)果如下表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
合計 |
(1)求的值和實驗班數(shù)學(xué)平均分的估計值;
(2)如果用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績小于分的學(xué)生中抽取
名學(xué)生,再從這
名學(xué)生中選
人,求至少有一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是在
的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,
,
,
.直角梯形
通過直角梯形
以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到,且使平面
平面
.
為線段
的中點,
為線段
上的動點.
(1)求證: ;
(2)當(dāng)點是線段
中點時,求二面角
的余弦值;
(3)是否存在點,使得直線
平面
?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=.
(1)求直線CD的方程;
(2)求圓P的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)若函數(shù)在
處的切線方程為
,求
,
的值;
(Ⅱ)若,
求函數(shù)
的零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列與
滿足:
,且
為正項等比數(shù)列,
,
.
(1)求數(shù)列與
的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足
,
為數(shù)列
的前
項和,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓.
(1)求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大��;
(2)已知不過原點的直線l與圓C相切,且在x軸、y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(3)從圓外一點向圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且
,求點P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知以
為圓心的圓
及其上一點
.
(1)設(shè)圓與
軸相切,與圓
外切,且圓心
在直線
上,求圓
的方程;
(2)設(shè)垂直于的直線
與圓
相交于
兩點,且
,求直線
的方程;
(3)設(shè)點滿足:存在圓
上的兩點
,使得
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如下表:
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于
的線性回歸方程
;
(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價格 (單位:元)與年產(chǎn)量
滿足的函數(shù)關(guān)系式為
,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.
①根據(jù)(1)中所建立的回歸方程預(yù)測該地區(qū)年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量;
②當(dāng)為何值時,銷售額
最大?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
,
.
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