Question

已知sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答：解：∵sinx+siny=

1

3

，∴siny=

1

3

-sinx，∵-1≤

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x）
=(sinx-

1

2

)2-

11

12

，∴sinx=-

2

3

 時，siny-cos²x的最大值為   (-

2

3

-

1

2

)2-

11

12

=

4

9

，
故答案為

4

9

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)，求sinx的取值范圍是易錯點．