Question

（本小題滿分12分）

已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上 ,且滿足，.

（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設為軌跡C上兩點，且，N(1,0)，求實數，使，且.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設點M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)·(，)＝0,即

又點Q在x軸的正半軸上，故點M的軌跡C的方程是.……6分

（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y²＝4x的焦點，且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。

當直線AB斜率不存在時，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；……7分

當直線AB斜率存在且不為0時，設，代入

得

則|AB|,解得          ………………10分

代入原方程得，由于，所以,

由，得 .             …………………12分

解法二：由題設條件得

  

由（6）、（7）解得或，又，故

考點：直線與拋物線的綜合應用；向量在幾何中的應用；軌跡方程的求法。

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題之一。本題主要考查利用“相關點法”求曲線的軌跡方程。相關點法：用動點Q的坐標x，y表示相關點P的坐標x₀、y₀，然后代入點P的坐標（x₀，y₀）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法．