【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于的不等式
在
上恒成立,求
的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷
在
上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當
時,
在
上不存在極值;當
時,
在
上存在極值,且極值均為正.
【解析】試題分析:(1)不等式恒成立問題,一般先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題: 的最大值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
最值,易得
在
上單調(diào)遞減,所以
,因此
,(2)即研究
導(dǎo)函數(shù)的零點情況,先求導(dǎo)數(shù),確定研究對象為
,再求目標函數(shù)導(dǎo)數(shù),確定單調(diào)性:先增后減,兩個端點值都小于零,討論最大值是否大于零,最后結(jié)合零點存在定理確定極值點個數(shù).
試題解析:解:(Ⅰ)由,得
.
即在
上恒成立.
設(shè)函數(shù),
.
則.
∵,∴
.
∴當時,
.
∴在
上單調(diào)遞減.
∴當時,
.
∴,即
的取值范圍是
.
(Ⅱ),
.
∴.
設(shè),則
.
由,得
.
當時,
;當
時,
.
∴在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
且,
,
.
據(jù)(Ⅰ),可知.
(ⅰ)當,即
時,
即
.
∴在
上單調(diào)遞減.
∴當時,
在
上不存在極值.
(ⅱ)當,即
時,
則必定,使得
,且
.
當變化時,
,
,
的變化情況如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
∴當時,
在
上的極值為
,且
.
∵.
設(shè),其中
,
.
∵,∴
在
上單調(diào)遞增,
,當且僅當
時取等號.
∵,∴
.
∴當時,
在
上的極值
.
綜上所述:當時,
在
上不存在極值;當
時,
在
上存在極值,且極值均為正.
注:也可由,得
.令
后再研究
在
上的極值問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知公差大于零的等差數(shù)列的前
項和為
,且
,
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且
,求非零常數(shù)
的值.
(3)設(shè),
為數(shù)列
的前
項和,是否存在正整數(shù)
,使得
對任意的
均成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求
的取值范圍;
(2)若函數(shù)的圖象與直線
相切,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標方程為
,以極點為原點,極軸為
軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(1)判斷直線與曲線
的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若直線和曲線
相交于
兩點,且
,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市為了宣傳環(huán)保知識,舉辦了一次“環(huán)保知識知多少”的問卷調(diào)查活動(一人答一份).現(xiàn)從回收的年齡在歲的問卷中隨機抽取了
份, 統(tǒng)計結(jié)果如下面的圖表所示.
(1)分別求出的值;
(2)從年齡在答對全卷的人中隨機抽取
人授予“環(huán)保之星”,求年齡在
的人中至少有
人被授予“環(huán)保之星”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線
的方程為
,在以原點為極點,
軸的非負關(guān)軸為極軸的極坐標系中,直線
的極坐標方程為
.
(1)將上的所有點的橫坐標和縱坐標分別伸長到原來的2倍和
倍后得到曲線
,求曲線
的參數(shù)方程;
(2)若分別為曲線
與直線
的兩個動點,求
的最小值以及此時點
的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)寫出直線的極坐標方程與曲線
的直角坐標方程;
(2)已知與直線平行的直線
過點
,且與曲線
交于
兩點,試求
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標值分組 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?
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