Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=2+，a₁=2，b_n=，且數(shù)列{b_n}為公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求k的值；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）令c_n=，求證：（m、n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：第1問(wèn)根據(jù)等比數(shù)列的定義及給出的兩個(gè)關(guān)系式求出k的值．第2問(wèn)對(duì)于{nb_n}等差數(shù)列乘以等比數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和采用錯(cuò)位相減法．第3問(wèn)先根據(jù)b_n求出c_n，然后分左右兩邊的不等式分別證明，左邊不等式需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出最值．然后給n依次取1，2，3，…，2^m-1時(shí)成立的式子累加可達(dá)到證明的目的；右邊不等式用數(shù)列的單調(diào)性，即后項(xiàng)減前項(xiàng)的結(jié)果正或負(fù)判斷增還是減，從而利用單調(diào)性達(dá)到證明的目的．
解答：解：（1）設(shè){a_n} 的公比為q≠1，即，又，
∴是關(guān)于n∈N^*的恒等式．
∴（2-k）a_n+3=3qa_n-3qk是關(guān)于n∈N^*的恒等式．
∴又q≠1，∴k=3…4分
（2）由（1）知
∴…5分
∴
…①
…②
①-②得：

=
=
∴…7分
（3）由題意c_n=n，即證
  先證
令 f（x）=ln（x+1）-x，則
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x＞0，1+x＞0，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，-∞）時(shí)，-x＜0，1+x＞0，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，-∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0，即ln（x+1）≤x…8分
令，則，即
∴l(xiāng)n2≤1


…

相加得：…10分
即
再證：
令
則
∴…12分
∴h（m）單調(diào)遞減．
∵h(yuǎn)（1）=1-1=0∴h（m）≤h（1）=0
即…13分
綜上得：…14分
點(diǎn)評(píng)：本題的第1問(wèn)主要考查了等比數(shù)列的定義．第2問(wèn)主要考查了錯(cuò)位相減法關(guān)鍵在于：“什么時(shí)候用？怎么用？”．第3問(wèn)考查了不等式的證明，證明中構(gòu)造了函數(shù)，難點(diǎn)在于怎樣構(gòu)造，構(gòu)造什么樣的函數(shù)．所以總體來(lái)說(shuō)第3問(wèn)比較難．