Question

甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽就此結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為二分之一．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門(mén)票收入40萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門(mén)票收入比上一場(chǎng)增加10萬(wàn)元．
（Ⅰ）求總決賽中獲得門(mén)票總收入恰好為300萬(wàn)元的概率；
（Ⅱ）設(shè)總決賽中獲得的門(mén)票總收入為X，求X的均值E（X）．

Answer 1

解：（I）依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門(mén)票收入組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列．
設(shè)此數(shù)列為{a_n}，則易知a₁=40，a_n=10n+30，
∴，
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此決賽共比賽了5場(chǎng)． …（3分）
則前4場(chǎng)比賽的比分必為1：3，且第5場(chǎng)比賽為領(lǐng)先的球隊(duì)獲勝，其概率為；…（6分）
（II）隨機(jī)變量X可取的值為S₄，S₅，S₆，S₇，即220，300，390，490 …（7分）
又…（8分）…（12分）
所以，X的分布列為

X	220	300	390	490
P

所以X的均值為E（X）=+=377.5．
分析：（I）依題意每場(chǎng)比賽獲得的門(mén)票收入數(shù)組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為{a_n}，根據(jù)a₁=40，a_n=10n+30，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到n的值，從而可得結(jié)論；
（II）確定隨機(jī)變量X可取的值，求出相應(yīng)的概率，即可求X的均值E（X）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查等差數(shù)列的運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與均值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．