Question

（2009•山東模擬）已知α為銳角，向量

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），且

a

⊥

b

（1）求α的值．
（2）若

x

=2

3

a

+2

b

，

y

=2

a

+2

3

b

，求向量

x

與

y

的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，結(jié)合向量

a

、

b

互相垂直，得

a

•

b

=sin3α=0，結(jié)合α為銳角，得3α=π，可得α=

π

3

；
（2）由向量模的公式，可得向量

a

、

b

的模均為1，可得

x

•

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）=8

3

，再計算出向量

x

與

y

的模都等于4，結(jié)合兩個向量的夾角公式即可算出

x

與

y

的夾角的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），
∴

a

•

b

=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α為銳角，得3α∈（0，

3π

2

）
∴3α=π，可得α=

π

3

（2）∵α=

π

3

，得

a

=（sinα，cosα）=（

3

2

，

1

2

），

b

=（cos2α，sin2α）=（-

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=|

b

|=1，且

a

•

b

=0
因此，

x

•

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）
=4

3

a

2+16

a

•

b

+4

3

b

2=8

3

而且|

x

|=

(2 3 a +2 b )2

=4，|

b

|=

(2 a +2 3 b )2

=4
設(shè)向量

x

與

y

的夾角為θ，可得cosθ=

x • y

| x |•| y |

=

8 3

4×4

=

3

2

即向量

x

與

y

的夾角的余弦值為

3

2

．

點評：本題給出兩個向量含有三角函數(shù)的坐標形式，求它們的線性組合向量的夾角余弦之值，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算、兩角和的正弦函數(shù)公式和向量夾角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．