Question

18．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是橢圓C長軸上的一個動點，過P作斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓C于A、B兩點，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓長軸長設出橢圓方程，利用點在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．
（2）設出P，直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設出AB坐標，通過韋達定理表示：|PA|²+|PB|²，化簡求解即可．

解答 解：（1）因為C的焦點在x軸上且長軸長為4，
故可設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（2＞b＞0），
因為點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，所以$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
解得b²=1，
所以，橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）證明：設P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y=$\frac{x-m}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，2x²-2mx+m²-4=0，（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個根，
所以有，x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以，|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）²-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-（m²-4）+2m²]=5（定值）．
所以，|PA|²+|PB|²為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，定值問題的化簡求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．