Question

設(shè)f(x)是定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)增。
（1）用定義證明：f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，試判斷f(m)+f(n)的符號；
（3）若f(1)=0，解關(guān)于x的不等式f[log_a(x-1)+1]＞0。

Answer 1

（1）證明：設(shè)，且，
則，且，
由已知函數(shù)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，得：，
又函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，
得到：，所以函數(shù)在(0，+∞)上遞增函數(shù)。
（2）解：不妨設(shè)m＞0，n＜0，
則由已知m+n＜00＜m＜-n，
已知函數(shù)在(0，+∞) 上遞增，
故有：f(m)＜f(-n)=-f(n)，得f(m)+f(n)＜0。
（3）由及函數(shù)在(-∞，0)和(0，+∞)上遞增，
可知：或，
即或，
當a＞1時，x＞2或；
當0＜a＜1時，1＜x＜2或；
綜上所述：當a＞1時，不等式的解集為{x| x＞2或}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|1＜x＜2或}。