Question

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為k米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為8k元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為y元．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）當k=100米時，試確定座位的個數(shù)，使得總造價最低？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，總造價y中包括座位和圓心處的支點間的鋼管的費用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費用，故只需算出座位的個數(shù)即知鋼管的個數(shù)，將兩項費用表示出來，相加即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將k=100米代入函數(shù)關(guān)系式求出最值即得最低的總造價．
解答：解：（1）設(shè)摩天輪上總共有n個座位，則即，，
定義域；（6分）
（2）當k=100時，令，
則=，
∴，（10分）
當時，f′（x）＜0，即f（x）在上單調(diào)減，
當時，f′（x）＞0，即f（x）在上單調(diào)增，
y_min在時取到，此時座位個數(shù)為個．（15分）
點評：本題是常見的利用導數(shù)解決現(xiàn)實中造價最優(yōu)的一個應(yīng)用題，審題與構(gòu)造函數(shù)是重點，在求最值時要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．