Question

已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
（1）用向量法證明E，F，G，H（2）四點共面；
（2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；
（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）用向量的加法求出，即可證明E，F，G，H（2）四點共面；
（2）用向量表示，就證明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交點，利用推出EG、FH交于一點M且被M平分，然后推出．
解答：證明：（1）連接BG，則
=
由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，（其中）
（2）因為．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知，同理，所以，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一點M且被M平分，
所以
=
點評：本題考查向量語言表述線面的垂直、平行關系，共線向量與共面向量，考查運算能力，是中檔題．