Question

某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中，，且中，，經(jīng)測(cè)量得到．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場(chǎng)，設(shè)．

（1）將五邊形的面積表示為的函數(shù)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積．

 

 

Answer 1

（1）（）；（2）時(shí)，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）要求五邊形的面積，可先求的面積，為此要求出（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910135997123330_DA/SYS201411171910135997123330_DA.008.png">），作，垂足為，則，又，因此利用相似形的性質(zhì)可得，這樣可得，于是；（2）對(duì)要求最大值，可把作為一個(gè)整體進(jìn)行變形，即，可以應(yīng)用基本不等式求得最值，要注意等號(hào)成立的條件.

（1）作GH⊥EF，垂足為H，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910135997123330_DA/SYS201411171910135997123330_DA.020.png">，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719100484943226/SYS201411171910135997123330_DA/SYS201411171910135997123330_DA.022.png">

所以，所以 2分

過作交于T，

則，

所以

7分

由于與重合時(shí)，適合條件，故, 8分

（2）， 10分

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2000， 13分

所以當(dāng)時(shí)，得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為． 14分

考點(diǎn)：（1）相似形與多邊形的面積；（2）函數(shù)的最值問題.