Question

（2009•虹口區(qū)二模）（理科）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的底面是等腰直角△，AB=AC=2，∠BAC=90°，棱AA₁=3，若D是BC點．
（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求異面直線DC₁與AB₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AB=AC=2且D是BC中點得到AD⊥CB；再結合其為直三棱柱得到AD⊥B₁B；即可得AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，得到對應點的坐標以及對應向量的坐標，再代入向量的數(shù)量積求夾角公式即可得到結論．

解答：解：（1）∵AB=AC=2且D是BC中點
∴AD⊥CB，①
∵是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AD⊥B₁B．②
∴由①②得：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，3），D（1，1，0），B₁（2，0，3）
所以；

DC1

=（-1，1，3），

AB1

=（2，0，3）．
∴cosθ=

DC1 • AB1

| DC1 |•| AB1 |

=

-2+9

11 × 13

=

7 143

143

．
故異面直線DC₁與AB₁所成角的大小為：arccos

7 143

143

．

點評：本題主要考查異面直線及其所成的角．對于本題，如果不用空間向量計算，要平移直線好幾次，并且線段長度不好計算，所以用了建坐標系來解決．