Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-ax²（a∈R）．
（1）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為實(shí)常數(shù)）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象總相切于一個(gè)定點(diǎn)．
①求k與b的值；
②對（0，+∞）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有[f（x₁）-h（x₁）][f（x₂）-h（x₂）]＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義得出恒等式，從而得出a的值；
（2）①由f′（x）與a無關(guān)即可得出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)得出切線方程，從而得出k，b的值；
②由題意可知f（x）-h（x）在（0，+∞）上恒正或恒負(fù)，化簡可得p（x）=e^x-ax-1在（0，+∞）上恒正或恒負(fù)，討論a的范圍，計(jì)算p（a）的最值進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是奇函數(shù)，∴$\frac{f（-x）}{{e}^{-x}}=-\frac{f（x）}{{e}^{x}}$恒成立，
即$\frac{-x{e}^{-x}-a{x}^{2}}{{e}^{-x}}$=-$\frac{x{e}^{x}-a{x}^{2}}{{e}^{x}}$，∴ax²（e^-x+e^x）=0恒成立，
∴a=0．
（2）①f′（x）=e^x（x+1）-2ax，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線的斜率為f′（x₀）=e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀+1）-2ax₀，
據(jù)題意f′（x₀）是與a無關(guān)的常數(shù)，故x₀=0，k=f′（0）=1，
∵f（0）=0，∴切點(diǎn)為（0，0），
∴切線的方程為h（x）=x，故k=1，b=0．
②∵對（0，+∞）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，[f（x₁）-h（x₁）][f（x₂）-h（x₂）]＞0恒成立，
∴f（x）-h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）-h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
f（x）-h（x）=x（e^x-ax-1），
設(shè)p（x）=e^x-ax-1，x∈（0，+∞）．
則p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
p′（x）=e^x-a，
1°，當(dāng)a≤1時(shí)，∵x∈（0，+∞），∴e^x＞1，∴p′（x）＞0恒成立，
∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴p（x）＞p（0）=0，符合題意．
2°，當(dāng)a＞1時(shí)，令p′（x）=0得x=lna，
∴當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，p′（x）＜0，當(dāng)x＞lna時(shí)，p′（x）＞0，
∴p（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
∴p（lna）＜p（0）=0，
而p（a）=e^a-a²-1，（a＞1），
令φ（a）=e^a-a²-1，則φ′（a）=e^a-2a，φ″（a）=e^a-2＞e-2＞0，
∴φ′（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e-2＞0，
∴φ（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ（a）＞φ（1）=e-2＞0，
即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，屬于中檔題．