Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a|x-2|-a，其中a＞0為常數(shù)，若函數(shù)y=f[f（x）]有10個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法轉(zhuǎn)化為t=f（x）的方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由已知可得：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=a|x-2|-a=a（|x-2|-1）的圖象如下圖所示：
若f（x）=0，則（|x-2|-1=0，即|x-2|=1，則x=1或x=3，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴x=-1，或x=-3也是函數(shù)的零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=±1，或x=±3，
設(shè)t=f（x），
則當(dāng)t＞a時(shí)，方程f（x）=t有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)t=a時(shí)，方程f（x）=t有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)-a＜t＜a時(shí)，方程f（x）=t有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)t=-a時(shí)，方程f（x）=t有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)t＜-a時(shí)，方程f（x）=t有0個(gè)交點(diǎn)，
由y=f[f（x）]=0，得f（t）=0，
則t=±1，或t=±3，
若y=f[f（x）]有10個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)為f（x）=t分別有4，4，2，0個(gè)交點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知當(dāng)t=1或t=-1時(shí)，各有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)t=3時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)t=-3有0個(gè)交點(diǎn)，
即1＜a＜3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（1，3），
故答案為：（1，3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，綜合性強(qiáng)，分類復(fù)雜，屬于難題．