Question

若m是2和8的等比中項(xiàng)，則m=

 

，圓錐曲線x2+

y2

m

=1的離心率是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比中項(xiàng)的定義，列式解出m=±4．當(dāng)m=4時(shí)圓錐曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)m=-4時(shí)圓錐曲線表示焦點(diǎn)在x軸上雙曲線．由此利用橢圓、雙曲線的基本量的平方關(guān)系與離心率公式，可算出該圓錐曲線的離心率．

解答：解：∵m是2和8的等比中項(xiàng)，∴m²=2×8=16，解之得m=±4．
當(dāng)m=4時(shí)，曲線x2+

y2

m

=1即x2+

y2

4

=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∵a₁²=4且b₁²=1，
∴a₁=2，c₁=

a12-b12

=

3

，橢圓的離心率e₁=

c1

a1

=

3

2

；
當(dāng)m=-4時(shí)，曲線x2+

y2

m

=1即x2-

y2

4

=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
同理可得a₂=1，c₂=

a22+b22

=

5

，雙曲線的離心率e₂=

c2

a2

=

5

．
綜上所述，m的值為±4；，圓錐曲線x2+

y2

m

=1的離心率是

3

2

或

5

．
故答案為：±4，

3

2

或

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)m的圓錐曲線，在已知m為2和8的等比中項(xiàng)的情況下求曲線的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、等比中項(xiàng)的概念等知識(shí)，屬于中檔題．