Question

15．如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的動點，四邊形ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=α，矩形的面積為S；
（1）求出S與α的函數(shù)關(guān)系式，并指出α的取值范圍；
（2）求S最大值．

Answer 1

分析 （1）先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積，即可得解；
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡后，再利用角α的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）在直角△OBC中，BC=sinα，OB=cosα，…（1分）
在直角△OAD中，$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，…（2分）
所以$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$，…（3分）
所以$AB=OB-OA=cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα$，…（4分）
所以矩形ABCD的面積$S=AB×BC=（cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα）•sinα$，$（0＜α＜\frac{π}{3}）$…（6分）
（2）由$S=AB×BC=（cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinα）•sinα=sinαcosα-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{sin^2}α$=$\frac{1}{2}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{1-cos2α}{2}=\frac{1}{2}sin2α+\frac{{\sqrt{3}}}{6}cos2α-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$…（8分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2α+\frac{1}{2}cos2α）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（10分）
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$，
∴$當(dāng)2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時$，即$α=\frac{π}{6}時$，矩形ABCD的面積S取得最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進行化簡，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．