Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元．

（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí).

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達(dá)式中的l用r表示．并注意到寫定義域時(shí)，利用l≥2r，求出自變量r的范圍；(Ⅱ)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類討論.

試題解析：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知

故

由于因此                           _.3分

所以建造費(fèi)用

因此                        _..5分

（II）由（I）得

由于    當(dāng)

令_;所以           .7分

（1）當(dāng)時(shí)，

所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。            .10分

（2）當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，

所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)

當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)                 13分

考點(diǎn)：1.函數(shù)解析式和定義域；2.函數(shù)模型的應(yīng)用；3.函數(shù)最值的求法