Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（Ⅱ）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求證|x-2y+3|≤3．

Answer 1

分析：（1）令y=|x-1|+|x-2|，則 y=

3-2x ，  x≤1 1 ， 1＜x＜2 2x-3 ， x≥2

，作出函數(shù)y=|x-1|+|x-2|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為(

1

2

，2)和(

5

2

，2)，由此得到不等式的解集．
（Ⅱ）因?yàn)閨x-2y+3|=|（x-1）-2（y-2）|≤|x-1|+2|y-2|=f（x）+2g（y），再根據(jù)f（x）≤1，g（y）≤1證得結(jié)論．

解答：解：（1）令y=|x-1|+|x-2|，則 y=

3-2x ，  x≤1 1 ， 1＜x＜2 2x-3 ， x≥2

，
作出函數(shù)y=|x-1|+|x-2|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為(

1

2

，2)和(

5

2

，2)．
所以f（x）+g（x）＜2的解集為(

1

2

，

5

2

)．------------（5分）
（Ⅱ）因?yàn)閨x-2y+3|=|（x-1）-2（y-2）|≤|x-1|+2|y-2|=f（x）+2g（y）≤3，
所以|x-2y+3|≤3成立．--------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．