Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，當a=1時，是否存在x∈[m，n]，f（x）的取值范圍為[

2

n

，

2

m

]，若存在求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：當a=1時，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|，當x≥1時，f（x）=2x²+（x-1）²=3x²-2x+1為增函數(shù)；當x＜1時，f（x）=2x²-（x-1）²=x²+2x-1，在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在[-1，1）上為增函數(shù)；故函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）上為增函數(shù)；當x=1時，函數(shù)f（x）取最小值2，進而分當m＜n＜0時，當0＜m＜n＜1時，當m＜1＜n時，和當1≤m＜n時四種情況，分類討論滿足條件的m，n的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：當a=1時，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|，
當x≥1時，f（x）=2x²+（x-1）²=3x²-2x+1為增函數(shù)；
當x＜1時，f（x）=2x²-（x-1）²=x²+2x-1，在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在[-1，1）上為增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）上為增函數(shù)；當x=1時，函數(shù)f（x）取最小值2，
若存在x∈[m，n]，f（x）的取值范圍為[

2

n

，

2

m

]，m，n同號，
①當m＜n＜0時，f（x）為減函數(shù)，
則

m2+2m-1= 2 m n2+2n-1= 2 n

，
即方程x2+2x-1=

2

x

有兩個負根，
即方程x³+2x²-x-2=（x-1）（x+1）（x+2）=0有兩個負根，
即m=-2，n=-1，
②當0＜m＜n＜1時，f（x）為減函數(shù)，則

m2+2m-1= 2 m n2+2n-1= 2 n

，
即方程x2+2x-1=

2

x

有兩個介于0的根，
由①得，不存在滿足條件的m，n，
③當m＜1＜n時，

2

n

=2，解得n=1不滿足要求，
④當1≤m＜n時，f（x）為增函數(shù)，
則

m2+2m-1= 2 n n2+2n-1= 2 m

，
此時方程組無解，
綜上所述m=-2，n=-1，

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，分類復雜，轉(zhuǎn)化難度大，綜合性強，屬于難題．