已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），對稱軸為x=2，且f（x）=0的兩個根的平方和為10，求
（1）f（x）的解析式．
（2）f（x）在[t，3]上的最小值．
分析：（1）利用待定系數(shù)法設出二次函數(shù)的解析式，利用題中的已知條件列出方程組，求出系數(shù)的值，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)對稱軸為x=2與區(qū)間[t，3]的位置關系，分兩種情況討論，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x）的最小值，從而得到答案．
解答：（1）解：設二次函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由題意知，c=3，-
b
2a
=2．
設x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根，則x12+x22=(x1 +x2 )2-2x1x2，
又根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
，
∴(-
b
a
)2-
2c
a
=10
∴16-
6
a
=10
∴a=1，b=-4．
∴f（x）=x2-4x+3．
（2）對稱軸為x=2，
當t＜2時，f（x）在[t，2]上是減函數(shù)，f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
∴f（x）min=f（2）=-1，
當2≤t＜3時，f（x）在[t，3]上是增函數(shù)，
∴f（x）min=f（t）=t2-4t+3．
綜上所述，f（x）在[t，3]上的最小值為f(x)min=
-1
t2-4t+3
t＜2
2≤t＜3
．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)求解析式問題，同時考查了二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值問題．二次函數(shù)求解析式的關鍵是要根據(jù)條件判斷是使用一般式、頂點式還是兩根式．二次函數(shù)的最值問題主要抓住對稱軸與區(qū)間的位置關系進行求解．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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