Question

二次方程（1-i）x²+（λ+i）x+（1+iλ）=0（i為虛數(shù)單位，λ∈R）有兩個(gè)虛根的充分必要條件是λ的取值范圍為_(kāi)_______．

Answer 1

λ≠2
分析：方程有兩個(gè)虛根等價(jià)于此方程沒(méi)有實(shí)根，若其有實(shí)根，由復(fù)數(shù)相等的定義可得x²+λx+1=0，且x²-x-λ=0．相減得（λ+1）（x+1）=0．當(dāng)λ=-1時(shí)，方程有兩個(gè)虛根，λ=-1符合題意；當(dāng)λ≠-1時(shí)，x=-1，代入得λ=2．說(shuō)明λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根x=-1．由此可得答案．
解答：二次方程（1-i）x²+（λ+i）x+（1+iλ）=0有兩個(gè)虛根，即此方程沒(méi)有實(shí)根．
原方程可化為x²+λx+1-（x²-x-λ）i=0，當(dāng)λ∈R時(shí)，此方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，
若其有實(shí)根，則x²+λx+1=0，且x²-x-λ=0．相減得（λ+1）（x+1）=0．當(dāng)λ=-1時(shí)，此二方程相同，且有兩個(gè)虛根．故λ=-1在取值范圍內(nèi)．
當(dāng)λ≠-1時(shí)，x=-1，代入得λ=2．即λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根x=-1．
故所求范圍是λ≠2．
故答案為：λ≠2．
點(diǎn)評(píng)：本題為復(fù)系數(shù)方程的根的問(wèn)題，利用復(fù)數(shù)相等的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．