Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，，n∈N⁺
（Ⅰ）設(shè)證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，，
∴a₂==，
a₃==，
a₄==．
由此猜想a_n=．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n-1時，=，成立；
②假設(shè)n=k時，等式成立，即，
則==，成立．
∴a_n=．
∴=-1=．
∵b₁=-1=-1=，==，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）∵b_n=，
∴=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，，推導(dǎo)出a_n=．所以=．由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由b_n=，知=n•2ⁿ，故數(shù)列{}的前n項(xiàng)和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法、錯位相減法和遞推思想的合理運(yùn)用．