Question

9．等腰△ABC的底邊$AB=6\sqrt{6}$，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB．現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．
（Ⅰ）證明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積，求V（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可證明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積，求出底面面積，可得體積，即可求V（x）的最值．

解答 （Ⅰ）證明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，
故EF⊥PE，而AB∩PE=E，
所以EF⊥平面PAE．
（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，
∴PE⊥平面ABC，即PE為四棱錐P-ACFE的高．
由高線CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴$\frac{BE}{BD}=\frac{EF}{CD}$，
由題意知$\frac{x}{{3\sqrt{6}}}=\frac{EF}{3}∴EF=\frac{{\sqrt{6}}}{6}x$
∴${S_{ACFE}}={S_{△ABC}}-{S_{△BEF}}=\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×3-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{6}{x^2}$=$9\sqrt{6}-\frac{{\sqrt{6}}}{12}{x^2}$．
而PE=EB=x，∴$V（x）=\frac{1}{3}{S_{ACFE}}•PE=3\sqrt{6}x-\frac{{\sqrt{6}}}{36}{x^3}$，$（0＜x＜3\sqrt{6}）$
∴當(dāng)x=6時(shí)V（x）_max=V_（6）=$12\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖，考查線面垂直的證明，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．