Question

三棱錐P-ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且這四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，PA=2PB，則這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)的和的最大值為（　�。�

• A．16
• B．

  4

  5

  70

• C．

  1

  5

  70

• D．32

Answer 1

分析：由已知，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，得到5PB²+PC²=16，再結(jié)合三角換元法，由三角函數(shù)的性質(zhì)得到這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)的和的最大值．

解答：解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的一條直徑．
∴16=PA²+PB²+PC²，又PA=2PB，∴5PB²+PC²=16，
設(shè)PB=

4cosα

5

，PC=4sinα，
則這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)的和PA+PB+PC=3PB+PC=

12

5

cosα+4sinα=

4

5

70

sin（α+∅）≤

4

5

70

．
則這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)的和的最大值為

4

5

70

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的側(cè)面積，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，是解答本題的關(guān)鍵．