Question

已知數(shù)列{a_n}}滿足：a1=

1

4

，(1-an)•an+1=

1

4

(n∈N*)．
（I）令bn=an-

1

2

(n∈N*)，求證：{

1

bn

}為等差數(shù)列；
（II）求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（I）由b_n=a_n-

1

2

得an=bn+

1

2

，代入（1-a_n）•a_n+1=

1

4

得(bn+1+

1

2

)(

1

2

-bn)=

1

4

，由此能夠證明{

1

bn

}是以-4為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列．
（II）由

1

bn

=-2n-2，知b_n=-

1

2n+2

，所以a_n=

1

2

-

1

2n+2

=

n

2(n+1)

，由此能求出

lim

n→∞

an=

1

2

．

解答：解：（I）由b_n=a_n-

1

2

得an=bn+

1

2

，
代入（1-a_n）•a_n+1=

1

4

得(bn+1+

1

2

)(

1

2

-bn)=

1

4

∴

1

2

bn+1-bnbn+1-

1

2

bn=0，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=-2(n∈N*），
∴{

1

bn

}是以-4為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列．
（II）由（I）可知

1

bn

=-2n-2，
即b_n=-

1

2n+2

，
∴a_n=

1

2

-

1

2n+2

=

n

2(n+1)

，
∴

lim

n→∞

an=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列的極限的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．