Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）證明數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，b2=

1

4

，對任意n∈N^*，都有

b

2 n+1

=bn•bn+2．若對任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可得（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），與原式相減得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，可得

an+1

n+1

=

an

n

（n≥2），由等比數(shù)列的定義可證，進(jìn)而可得通項；（II）易得數(shù)列{b_n}的通項公式bn=

1

2n

，代入原式，不等式可化為λ＞

n2+n-6

n2+2n

對任意的n∈N^*，恒成立，構(gòu)造f（n）=

n2+n-6

n2+2n

=1-

1

(n+6)+ 24 n+6 -10

，由f（n）的單調(diào)性可得范圍，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），兩式相減得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

n+1

=

an

n

（n≥2），由a₁=1，可得a₂=2，
從而對任意 n∈N^*，

an+1

n+1

=

an

n

，又

a1

1

=1≠0，即{

an

n

}是首項公比均為1的數(shù)列，
所以

an

n

=1×1^n-1=1，故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（II）在數(shù)列{b_n}中，由

b

2 n+1

=bn•bn+2，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且首項、公比均為

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式bn=

1

2n

（6分）
故原不等式可化為（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0對任意的n∈N^*，恒成立，
變形可得λ＞

n2+n-6

n2+2n

對任意的n∈N^*，恒成立，
令f（n）=

n2+n-6

n2+2n

=

n2+2n-n-6

n2+2n

=1-

n+6

n2+2n

=1-

1

n2+2n n+6

=1-

1

(n+6)+ 24 n+6 -10

，
由n+6≥7，(n+6)+

24

n+6

-10單調(diào)遞增且大于0，
∴f（n）單調(diào)遞增，且當(dāng)n→+∞時，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故實數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）

點評：本題考查等比關(guān)系的確定，涉及函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，屬中檔題．