Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=$\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{3}$．
（I）證明：平面POC⊥平面PAD；
（II）若CD=$\sqrt{2}$，三棱錐P-ABD與C-PBD的體積分別為V₁、V₂，求證V₁=2V₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出OC⊥AD，OC⊥PO，OC⊥平面PAD，由此能證明平面POC⊥平面PAD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出OC⊥OD，AD=2，設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為h，由平行線BC與AD之間的距離為1，能證明V₁=2V₂．

解答 證明：（Ⅰ）在四邊形OABC中，
∵AO∥BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四邊形OABC是正方形，得OC⊥AD，（2分）
在△POC中，∵PO²+OC²=PC²，∴OC⊥PO，（4分）
又PO∩AD=O，∴OC⊥平面PAD，
又OC?平面POC，
∴平面POC⊥平面PAD．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四邊形ABCO為正方形，
∴OC=AB=1，OC⊥OD，（8分）
∴$OD=\sqrt{C{D^2}-O{C^2}}=1$，從而AD=2，（9分）
設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為h，∵平行線BC與AD之間的距離為1，
∴$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h}}{{\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•h}}=\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△BCD}}}}=\frac{{\frac{1}{2}AD•1}}{{\frac{1}{2}BC•1}}=\frac{AD}{BC}=2$，（11分）
即V₁=2V₂．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查兩幾何體體積的數(shù)量關(guān)系的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．