【題目】已知函數(shù)f(x)=.(a>0)
(1)若a=1,證明:y=f(x)在R上單調(diào)遞減;
(2)當a>1時,討論f(x)零點的個數(shù).
【答案】見解析
【解析】(1)證明:當x≥1時,f′(x)=-1≤0,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)≤f(1)=0;
當x<1時,f′(x)=ex-1-1<0,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,且此時f(x)>0.
所以y=f(x)在R上單調(diào)遞減.
(2)若x≥a,則f′(x)=-a≤-a<0(a>1),
所以此時f(x)單調(diào)遞減,令g(a)=f(a)=ln a-a2+1,
則g′(a)=-2a<0,所以f(a)=g(a)<g(1)=0,
即f(x)≤f(a)<0,故f(x)在[a,+∞)上無零點.
當x<a時,f′(x)=ex-1+a-2,
①當a>2時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
又f(0)=e-1>0,f<0,所以此時f(x)在上有一個零點.
②當a=2時,f(x)=ex-1,此時f(x)在(-∞,2)上沒有零點.
③當1<a<2時,令f′(x0)=0,解得x0=ln(2-a)+1<1<a,所以f(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,a)上單調(diào)遞增.
f(x0)=e+(a-2)x0=e (1-x0)>0,
所以此時f(x)沒有零點.
綜上,當1<a≤2時,f(x)沒有零點;當a>2時,f(x)有一個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成, 的公共點為,其中的離心率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)過點的直線與分別交于(均異于點),若,求直線的方程.
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【題目】已知二次函數(shù),在下列條件下,求實數(shù)的取值范圍.
(1)零點均大于;
(2)一個零點大于,一個零點小于;
(3)一個零點在內(nèi),另一個零點在內(nèi).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值及對應(yīng)的點的直角坐標.
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【題目】已知函數(shù).現(xiàn)提供的大致圖像的8個選項:
(A)(B)(C)(D)
(E)(F)(G)(H)
(Ⅰ)請你作出選擇,你選的是( );
(Ⅱ)對于函數(shù)圖像的判斷,往往只需了解函數(shù)的基本性質(zhì).為了驗證你的選擇的正確性,請你解決下列問題:
①的定義域是 ;
②就奇偶性而言, 是 ;
③當時, 的符號為正還是負?并證明你的結(jié)論.
(解決了上述三個問題,你要調(diào)整你的選項,還來得及.)
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,對任意實數(shù)滿足,且函數(shù)的最小值為2.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),其中,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(3)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方,試確定實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某工科院校對A,B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
專業(yè)A | 專業(yè)B | 總計 | |
女生 | 12 | 4 | 16 |
男生 | 38 | 46 | 84 |
總計 | 50 | 50 | 100 |
(1)從B專業(yè)的女生中隨機抽取2名女生參加某項活動,其中女生甲被選到的概率是多少?
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢?
注:K2=
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:
出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.
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