Question

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對(duì)角線A₁C₁上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)．
①存在P，Q兩點(diǎn)，使BP⊥DQ；
②存在P，Q兩點(diǎn)，使BP，DQ與直線B₁C都成45°的角；
③若|PQ|=1，則四面體BDPQ的體積一定是定值；
④若|PQ|=1，則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值．
以上命題為真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：令P與A₁點(diǎn)重合，Q與C₁點(diǎn)重合，可判斷①；根據(jù)BP與直線B₁C所成的角最小值為45°，可判斷②；根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷③；根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積不變，可判斷④．

解答： 解：當(dāng)P與A₁點(diǎn)重合，Q與C₁點(diǎn)重合時(shí)，BP⊥DQ，故①正確；
當(dāng)P與A₁點(diǎn)重合時(shí)，BP與直線B₁C所成的角最小，此時(shí)兩異面直線夾角為60°，故②錯(cuò)誤；
設(shè)平面A₁B₁C₁D₁兩條對(duì)角線交點(diǎn)為O，則易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐，
故四面體BDPQ的體積一定是定值，故③正確；
四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形，其面積為定值，
四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為

2

2

，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，
故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，故④正確；
故為真命題的有3個(gè)．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的幾何特征，是空間異面直線關(guān)系，棱錐體積，投影的綜合應(yīng)用，難度較大．