Question

已知過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l₁與曲線C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是參數(shù)）交于P，Q兩點(diǎn)，與直線l₂：x+y+2=0交于點(diǎn)N．若PQ的中點(diǎn)為M，
（1）求|AM|•|AN|的值；
（2）求|AP|+|AQ|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）求出直線l₁的參數(shù)方程，將其代入圓的方程和直線l₂的方程，得到參數(shù)t，運(yùn)用韋達(dá)定理，和中點(diǎn)的參數(shù)t，即可得到所求值；
（2）由（1）可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，則|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

代入運(yùn)用三角函數(shù)的二倍角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l₁的方程為

x=1+tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)），
曲線C：

x=2+2cosα y=1+2sinα

（α是參數(shù)）即為圓（x-2）²+（y-1）²=4，
將直線l₁的方程代入圓的方程，可得t²-2（cosθ+sinθ）t-2=0，
可得，t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，
則|AM|=|

t1+t2

2

|=|cosθ+sinθ|，
將直線l₁的方程代入直線l₂：x+y+2=0，可得t=

-3

cosθ+sinθ

，
則|AM|•|AN|=|cosθ+sinθ|•|

-3

cosθ+sinθ

|=3；
（2）|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosθ+sinθ)2+8

=

12+4sin2θ

，
當(dāng)sin2θ=1即θ=kπ+

π

4

，k∈Z，時(shí)，取得最大值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義及運(yùn)用，考查韋達(dá)定理及三角函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．